Домівка > Кінематика > Задача про запуск снаряда

Задача про запуск снаряда

Снаряд запустили з точки P. Він рухається таким чином, що відстань від нього до P постійно збільшується. Знайти найбільший кут під яким можна вистрелити, щоб снаряд міг так рухатись.

Припустимо, що точка P перебуває в початку координат. Тоді рівняння руху снаряду таке

x(t) = v_x t

y(t) = v_y t - \frac{1}{2} gt^2

де v_x і v_y відповідно горизонтальна і вертикальна складові вектора початкової швидкості \textbf{v} of the projectile:

|\textbf{v}|^2 \equiv v^2 = v_x^2 + v_y^2

Відстань між позицією снаряда в момент $t$ і початковою точкою P is

s^2(t) = x^2(t) + y^2(t) = v^2 t^2 + \frac{1}{4}g^2t^4 - v_y g t^3

Також, давайте позначимо як \theta кут над обрієм, і також зауважимо, що

\tan \theta = \frac{v_y}{v_x}.

Що ми хочемо, це накласти таку умову

\frac{ds}{dt} \ge 0.

Ліворуч маємо

\frac{ds}{dt} = \frac{1}{2s} \frac{d(s^2)}{dt} = \frac{t}{2s} ( 2v^2 + g^2t^2 - 3 v_y gt),

і умова набуває вигляду

t^2 - \frac{3v_y}{g} t + \frac{2v^2}{g^2} \ge 0.

Для того, щоб ця умова виконувалась для кожного t>0* ми дискримінант \Delta^2 мусить бути не більше нуля: \Delta^2 \le 0, що дає

\frac{9v_y^2}{g^2} - \frac{8v^2}{g^2} \le 0 \Longrightarrow v_y^2 \le 8 v_x^2

зрештою отримуємо умову

\tan\theta \le \sqrt{8}.

Advertisements
Категорії:Кінематика Позначки:,
  1. Коментарів ще немає.
  1. No trackbacks yet.

Залишити відповідь

Заповніть поля нижче або авторизуйтесь клікнувши по іконці

Лого WordPress.com

Ви коментуєте, використовуючи свій обліковий запис WordPress.com. Log Out / Змінити )

Twitter picture

Ви коментуєте, використовуючи свій обліковий запис Twitter. Log Out / Змінити )

Facebook photo

Ви коментуєте, використовуючи свій обліковий запис Facebook. Log Out / Змінити )

Google+ photo

Ви коментуєте, використовуючи свій обліковий запис Google+. Log Out / Змінити )

З’єднання з %s

%d блогерам подобається це: