Домівка > Механіка > Градієнт деформації

Градієнт деформації

У результаті деформації у тривимірному випадку куб перетворюється у щось схоже на паралелепіпед. Градієнт деформації це тензор, що вимірює цю зміну форми разом із обертанням матеріалу.

Будь-який куб можна характеризувати за допомогою трьох ортогональних векторів, що утворюють його ребра. Те саме можна сказати про паралелепіпед. Градієнт деформації \mathbf F виражає ці зміни через збирання трьох ребер отриманих в результаті деформації в матрицю. У декартових координатах стовпчики цієї матриці містять вектори деформованих ребер виражені відносно векторів початкових ребер. Під відносними уважається, що всі зміни довжин виражені як множники початкових довжин, а всі напрямки виражені через напрямки початкових ребер. Тобто, визначивши підхожим чином одиницю довжини, ми можемо вважати, що початковий куб – одиничний, чиї ребра вирівняні уздовж осей координат і утворюють базис \mathbf E_1, \mathbf E_2, \mathbf E_3. Після деформації ці ребра трансформуються у \mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3. Якщо ви знаєте компоненти \mathbf e_k то ви маєте k-й стовпчик \mathbf F у координатах \mathbf E_1, \mathbf E_2, \mathbf E_3. Тобто,

\mathbf e_k = \mathbf F \cdot \mathbf E_k.

Деформовані вектори ребер – \mathbf e_k не обов’язково ортогональні чи одиничні. Їх називають “матеріальними векторами”, тому що вони рухаються разом із матеріалом.

Математичне означення

Градієнт деформації \mathbf F – це похідна кожного компонента деформованого вектора \mathbf x щодо кожного компонента відлікового вектора \mathbf X . Для \mathbf x = \mathbf x (\mathbf X), маємо

F_{ij} = x_{i,j} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} =   \begin{bmatrix}  \frac{\partial x_1}{\partial X_1} & \frac{\partial x_1}{\partial X_2} & \frac{\partial x_1}{\partial X_3} \\  \frac{\partial x_2}{\partial X_1} & \frac{\partial x_2}{\partial X_2} & \frac{\partial x_2}{\partial X_3} \\  \frac{\partial x_3}{\partial X_1} & \frac{\partial x_3}{\partial X_2} & \frac{\partial x_3}{\partial X_3}  \end{bmatrix}.

Ми можемо трошки змінити означення позначивши через \mathbf u переміщення \mathbf x - \mathbf X, тоді \mathbf{x = X + u} , відповідно

\mathbf F = \frac{\partial}{\partial \mathbf X}(\mathbf {X + u}) = \mathbf{I + \frac{\partial u}{\partial X}}

У тензорному записі F_{ij} = \delta_{ij} + u_{i,j}.

Виведення через ряд Тейлора

continuum_body_deformation

Для нескінченно малого елемента d\mathbf X\, припускаючи неперервність поля переміщень, можна використати розклад у ряд Тейлора в околі точки P, щоб отримати приблизні переміщення для сусідньої частинки Q:

\mathbf{u}(\mathbf{X}+d\mathbf{X}) =\mathbf{u}(\mathbf{X})+d\mathbf{u}
\approx \mathbf{u}(\mathbf{X})+\nabla_{\mathbf X}\mathbf u\cdot d\mathbf X.

Отже, замість d\mathbf x= d\mathbf{X}+d\mathbf{u} можна записати

d\mathbf x =d\mathbf X+d\mathbf u
=d\mathbf X+\nabla_{\mathbf X}\mathbf u\cdot d\mathbf X
=\left(\mathbf I + \nabla_{\mathbf X}\mathbf u\right)d\mathbf X
=\mathbf F d\mathbf X.
Advertisements
Категорії:Механіка Позначки:
  1. Коментарів ще немає.
  1. No trackbacks yet.

Залишити відповідь

Заповніть поля нижче або авторизуйтесь клікнувши по іконці

Лого WordPress.com

Ви коментуєте, використовуючи свій обліковий запис WordPress.com. Log Out / Змінити )

Twitter picture

Ви коментуєте, використовуючи свій обліковий запис Twitter. Log Out / Змінити )

Facebook photo

Ви коментуєте, використовуючи свій обліковий запис Facebook. Log Out / Змінити )

Google+ photo

Ви коментуєте, використовуючи свій обліковий запис Google+. Log Out / Змінити )

З’єднання з %s

%d блогерам подобається це: