Archive

Archive for the ‘Математика’ Category

Знаходження кількості простих циклів у неорієнтованому графі

Тут ми розглянемо як порахувати кількість простих циклів у неорієнтованому графі. Один зі способів виконання цієї задачі – це динамічне програмування з бітовими масками. Саме цей спосіб ми тут і розглянемо. Ми припускаємо, що ви вже знайомі із поняттям динамічного програмування.

Огляд ДП з бітовими масками

Якщо говорити про нашу задачу, то динамічне програмування з бітовими масками розглядає всі можливі підмножини вершин графа. Наприклад, якщо граф має три вершини пронумеровані від 1 до 3, то такими підножинами будуть {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}. Ці множини зручно представляти у вигляді бітових масок. Таких підмножин буде 2^n, що мовою С++ виглядає як 1 << n, де n – це кількість вершин у графі.

Читати далі…

Advertisements

Стара задача про шляпи

Група чаклунів зібралась на галявині, щоб вирішити питання, що накопичились у магічній країні. Магічна сила чаклунів залежить від їхньої шляпи. Щоб в палу суперечки не спалити один одного своїми закляттями вони вирішили залишити свої шляпи біля сусіднього з галявиною дуба-велетня. Поки вони обговорювали свої питання, впала ніч, тому коли розходились кожен з них взяв першу ліпшу шляпу. Нас цікавить, скільки ж чаклунів повернулись до своїх веж із своїми власними шляпами.

Читати далі…

Порівняльний тест стабільності процесу Грама — Шмідта

Сьогодні ми розглянемо стабільність процесу Грама-Шмідта. Для цього ми реалізуємо класичну, clgs(), і стабільну, stgs(), версії алгоритму, а як еталон ми використаємо вбудовану функцію MATLAB – qr(). Ми згенеруємо 80×80 матрицю з “випадковою” Q і з R чиї діагональні елементи спадають експоненційно. Для створення вхідної матриці A ми скористаємось cингулярним розкладом матриці. Більше про те чим відрізняєтьс класичний і стабільний варіанти алгоритму можна прочитати у статті на Вікіпедії.
Читати далі…

Розв’язання задачі MappingABC з TopCoder

Тут я розгляну розв’язок задачі MappingABC з TopCoder. Це задача з першого дивізіону другого рівня складності, тому вона вимагає певний рівень учасника для розв’язання.

Основне спостереження, яке допомагає в розв’язанні – це те, що для того, щоб порахувати всі прийнятні рядки ми можемо розбити рядок на три підрядки: до першого A – [0, FA], між першим A і останнім C – [FA, LC] і після останнього C – [LC,t.size()-1]. Ми рахуємо лише ті рядки в яких у [FA, LC] трапляється B.

Введемо дві множини для позначення символів які трапляються лише зовні [FA, LC] і інші, відповідно \mathcal O і \mathcal I. Тоді кількість прийнятних рядків така:
\prod_{s\in \mathcal O}\mbox{bitcount}(s) + \Big( \prod_{s\in \mathcal I}\mbox{bitcount}(s) - \prod_{s\in \mathcal I}\mbox{bitcount}(s \& 5) \Big).

Дивись коментарі в сирцевому коді для подальших роз’яснень.
Читати далі…

Категорії:C++, Комбінаторика Позначки:, ,

Розв’язання задачі BearEmptyCoin

Нещодавно спробував одну з задач першого дивізіону на топкодері. Задача виявилось надто складною для того, щоб я її самостійно розв’язав, навіть зрозуміти код, який вільно доступний, я не зміг. Отже, шукав допомоги в інтернеті. На запит “BearEmptyCoin” Google мені видав кілька посилань власне на topcoder.com і посилання на три блоги, китайською, корейською і японською мовами:) За допомогою Google перекладача, який досить невміло перекладає з цих мов, мені вдалось якось докопатись до істини. Тому, зараз я можу поділитись поясненням розв’язку із вами.

Формулювання

Маємо чесну монету, чисту з обох боків. Цією монетою ми гратимемо в гру. На початку рахунок 0, гра триватиме K раундів. Кожен раунд такий:
1. Вкидаємо монету.
2. Якщо верхній бік порожній, то записуємо на нього число, яке забажаємо.
3. Додаємо до рахунку число записане на верхньому боку монетки.
Для перемоги потрібно, щоб кінцевий рахунок був S.

На вході ми маємо K, S. Нехай P – ймовірність виграшу у разі слідування найоптимальнішій стратегії. Можна показати, що P помножена на 2^K є цілим числом. Повернути це число.
Читати далі…

Кількість відмінних двійкових дерев з n вершинами

Кількість відмінних двійкових дерев з n позначеними вершинами

Для двійкового дерева з n вершинами, кількість ребер становить n-1. Отже, цю задачу можна звести до кількості варіантів розташування n-1 ребер у n вершин. Ребро можна зробити або лівим, або правим. Читати далі…

Категорії:Математика Позначки:

Похідна кватерніона

Чому кватерніони, а не матриці повороту

З багатьох причин одиничні кватерніони, чотириелементні вектори, ліпший вибір ніж матриці повороту. Для симуляції руху твердого тіла найголовнішою причиною вибору кватерніонів є числовий самоплив. Припустимо, що ми відслідковуємо за орієнтацією твердого тіла за допомогою формули

\dot R(t) = \begin{pmatrix} 0 & -\omega_z(t) & \omega_y(t) \\ \omega_z(t) & 0 & -\omega_x(t) \\ -\omega_y(t) & \omega_x(t) & 0 \end{pmatrix} R(t),

тут R(t) є матрицею поворота, а вектор \omega(t) описує обертання тіла. Напрямок \omega(t) дає напрямок вісі обертання, а його довжина говорить про швидкість обертання.

По мірі того як ми оновлюємо R(t) згідно з цією формулою, ми неминуче отримуємо числовий самоплив. Числова помилка накопичуватиметься у коефіцієнтах матриці, і зрештою на екрані тіло відображатиметься скошеним.
Читати далі…

Категорії:Математика Позначки: